Problema 47: Determine a derivada de f(x) = x^3 ln(x). a) 3x^2 ln(x) + x^2 b) 3x^2 ln(x) - x^2 c) 3x^2 ln(x) + 3x d) 3x^2 ln(x) + 1

Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^3 \) e \( v(x) = \ln(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 3x^2 \) - \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (3x^2)(\ln(x)) + (x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \) é: a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) Essa é a alternativa correta!