Problema 52: Determine a integral \int_0^1 (1 - x^3)^{2/3} \, dx. a) \frac{3}{8} b) \frac{2}{5} c) \frac{4}{5} d) \frac{1}{3}

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{2/3} \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^3\). Assim, temos: 1. Derivando \(u\), obtemos \(du = -3x^2 \, dx\) ou \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{2/3} \left(-\frac{du}{3x^2}\right) \] Agora, precisamos expressar \(x\) em termos de \(u\). Da substituição \(u = 1 - x^3\), temos \(x = (1 - u)^{1/3}\). Portanto, \(x^2 = (1 - u)^{2/3}\). Substituindo isso na integral, obtemos: \[ \int_1^0 u^{2/3} \left(-\frac{du}{3(1 - u)^{2/3}}\right) = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{u^{2/3}}{(1 - u)^{2/3}} \, du \] Essa integral é uma forma da integral beta, que pode ser resolvida usando a fórmula: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \] onde \(B\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) é o que precisamos. Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{3} B\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{5}{3}\right) \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma\left(2\right)} \] Calculando isso, obtemos o resultado final. Após realizar os cálculos, a resposta correta para a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{2/3} \, dx\) é: a) \(\frac{3}{8}\).