Para determinar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 2} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique a função externa e a interna: - Função externa: \( g(u) = \sqrt{u} \) - Função interna: \( u(x) = x^2 + 3x + 2 \) 2. Derivadas: - A derivada da função externa \( g(u) \) é \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \). - A derivada da função interna \( u(x) \) é \( u'(x) = 2x + 3 \). 3. Aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2x + 3) \] Substituindo \( u \) de volta: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \cdot (2x + 3) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \) - Correta. b) \( \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \) - Incorreta. c) \( \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \) - Incorreta. d) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 2}} \).