Problema 53: Calcule a derivada de f(x) = x \sin(x). a) x \cos(x) + \sin(x) b) \sin(x) c) x \sin(x) d) x \cos(x) - \sin(x)

Para calcular a derivada da função \( f(x) = x \sin(x) \), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x \) e \( u'(x) = 1 \) - \( v(x) = \sin(x) \) e \( v'(x) = \cos(x) \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (1)(\sin(x)) + (x)(\cos(x)) = \sin(x) + x \cos(x) \] Portanto, a derivada de \( f(x) = x \sin(x) \) é: \[ f'(x) = x \cos(x) + \sin(x) \] Assim, a alternativa correta é: a) \( x \cos(x) + \sin(x) \).