Encontre a solução da equação y' + y = 3. a) y = 3 + Ce^{-x} b) y = 3 - Ce^{-x} c) y = 3e^{-x} + C d) y = 3e^{x} + C

Para resolver a equação diferencial \( y' + y = 3 \), podemos usar o método do fator integrante. 1. A equação é da forma \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = 1 \) e \( Q(x) = 3 \). 2. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^{x} \). 3. Multiplicamos toda a equação por \( e^{x} \): \[ e^{x}y' + e^{x}y = 3e^{x} \] 4. O lado esquerdo pode ser reescrito como a derivada de um produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{x}y) = 3e^{x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{x}y = 3e^{x} + C \] 6. Dividindo por \( e^{x} \): \[ y = 3 + Ce^{-x} \] Portanto, a solução da equação é \( y = 3 + Ce^{-x} \). A alternativa correta é: a) y = 3 + Ce^{-x}.