Calcule o limite lim_{x → 0} (x - tan(x))/(x^3). a) -1/3 b) 0 c) 1 d) ∞

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3}\), podemos usar a série de Taylor para \(\tan(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ x - \tan(x) = x - \left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) = -\frac{x^3}{3} + O(x^5) \] Agora, substituímos isso no limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^3} \] Isso se simplifica para: \[ \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{3} + \frac{O(x^5)}{x^3}\right) \] Como \(O(x^5)/x^3\) tende a 0 quando \(x\) tende a 0, o limite se torna: \[ -\frac{1}{3} \] Portanto, a resposta correta é a) \(-\frac{1}{3}\).