Problema 47: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\). A) \(0\) B) \(1\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx\), primeiro podemos observar que a expressão dentro da integral é um polinômio. Vamos calcular a integral passo a passo: 1. Integral do polinômio: \[ \int (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{4x^4}{4} + \frac{6x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + x + C \] Simplificando, temos: \[ = \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x + C \] 2. Avaliar de 0 a 1: Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x \right]_0^1 \] Avaliando em \(x = 1\): \[ = \frac{1^5}{5} - 1^4 + 2(1^3) - 2(1^2) + 1 = \frac{1}{5} - 1 + 2 - 2 + 1 = \frac{1}{5} \] Avaliando em \(x = 0\): \[ = 0 \] 3. Resultado final: Portanto, a integral é: \[ \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5} \] Agora, analisando as alternativas: A) \(0\) B) \(1\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{1}{3}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{1}{5}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois a resposta correta não está listada. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da integral.