Problema 53: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx\). A) \(\frac{1}{3}\) B) \(\frac{5}{6}\) C) \(1\) D) \(\frac{2}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\). - A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). - Portanto, a antiderivada de \(x^2 + 2x\) é \(\frac{x^3}{3} + x^2\). 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^1 \] - Avaliando em \(x = 1\): \[ \frac{1^3}{3} + 1^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \] - Avaliando em \(x = 0\): \[ \frac{0^3}{3} + 0^2 = 0 \] 3. Subtrair os valores: \[ \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3} \] Parece que houve um erro na avaliação das opções, pois a resposta correta não está listada. No entanto, se você precisar de uma resposta entre as opções dadas, a integral correta é \(\frac{4}{3}\), que não corresponde a nenhuma das alternativas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!