Problema 49: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 + x^2) \, dx\). A) \(\frac{1}{5}\) B) \(\frac{1}{6}\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(\frac{1}{4}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^4 + x^2) \, dx\), vamos resolver a integral separadamente para cada termo. 1. Integral de \(x^4\): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] 2. Integral de \(x^2\): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Agora, somamos as duas integrais e avaliamos de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^4 + x^2) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \] Substituindo os limites: \[ = \left( \frac{1^5}{5} + \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} + \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) \] Para somar \(\frac{1}{5}\) e \(\frac{1}{3}\), precisamos de um denominador comum, que é 15: \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \quad \text{e} \quad \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \] \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (x^4 + x^2) \, dx = \frac{8}{15}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.