Problema 51: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). A) \(0\) B) \(-\frac{1}{4}\) C) \(\frac{1}{4}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-2x^2\) é \(-\frac{2x^3}{3}\). 3. A antiderivada de \(x\) é \(\frac{x^2}{2}\). Assim, a antiderivada \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 12: \[ F(1) = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{3 - 8 + 6}{12} = \frac{1}{12} \] Agora, calculamos \(F(0)\): \[ F(0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \(\frac{1}{12}\). Portanto, parece que houve um erro nas opções ou no enunciado. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a função a ser integrada está correta.