Determine \(\tan(15^\circ)\). a) \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} b) \frac{1}{\sqrt{3}} c) \sqrt{3} d) -\sqrt{3}

Para determinar \(\tan(15^\circ)\), podemos usar a fórmula da tangente da diferença de ângulos: \[ \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \tan(b)} \] Podemos escolher \(a = 45^\circ\) e \(b = 30^\circ\), pois sabemos os valores das tangentes desses ângulos: \(\tan(45^\circ) = 1\) e \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Substituindo na fórmula: \[ \tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Simplificando: Numerador: \[ 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \] Denominador: \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \] Portanto, temos: \[ \tan(15^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \] Agora, multiplicando numerador e denominador por \(\sqrt{3} - 1\) para simplificar: \[ \tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \] Assim, a forma correta de \(\tan(15^\circ)\) é: \[ \tan(15^\circ) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \] Portanto, a alternativa correta é a) \(\frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\).