Determine \(\tan(75^\circ)\). a) \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} b) \frac{1}{\sqrt{3}} c) \sqrt{3} d) -\sqrt{3}

Para determinar \(\tan(75^\circ)\), podemos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Podemos escrever \(75^\circ\) como \(45^\circ + 30^\circ\). Assim, temos: - \(\tan(45^\circ) = 1\) - \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) Substituindo na fórmula: \[ \tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Simplificando: \[ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \] Multiplicando numerador e denominador por \(\sqrt{3} + 1\) para racionalizar: \[ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \] Portanto, \(\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}\). Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{2 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\) - Não é a resposta correta. b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) - Não é a resposta correta. c) \(\sqrt{3}\) - Não é a resposta correta. d) \(-\sqrt{3}\) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que a resposta correta não está entre as opções fornecidas.