Qual é a solução de z^3 = -8? A) 2 B) -2 C) 2(1 + i√3) D) 2(1 - i√3)

Para resolver a equação \( z^3 = -8 \), podemos reescrever \(-8\) na forma polar. O número \(-8\) pode ser expresso como \(8(\cos(\pi) + i\sin(\pi))\). Agora, aplicamos a fórmula de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas. As raízes cúbicas de um número na forma polar \( r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \) são dadas por: \[ z_k = r^{1/3} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( k = 0, 1, 2 \) e \( n \) é o índice da raiz (neste caso, 3). 1. O módulo \( r = 8 \) e a raiz cúbica de \( 8 \) é \( 2 \). 2. O argumento \( \theta = \pi \). Calculando as raízes: - Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3} \] - Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -1 + i0 \right) = -2 \] - Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - i\sqrt{3} \] Assim, as soluções são \( 2(1 + i\sqrt{3}) \), \(-2\) e \(2(1 - i\sqrt{3})\). Dentre as alternativas apresentadas, a correta é: B) -2.