Para resolver a equação \( z^4 + 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^4 = -1 \). Sabemos que \( -1 \) pode ser representado na forma polar como \( e^{i\pi} \). Assim, podemos escrever: \[ z^4 = e^{i\pi} \] Para encontrar as raízes quartas, usamos a fórmula: \[ z_k = \sqrt[4]{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n} \] onde \( r = 1 \) (módulo de -1) e \( \theta = \pi \), e \( n = 4 \) (porque estamos buscando raízes quartas). Portanto, temos: \[ z_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4} \quad \text{para } k = 0, 1, 2, 3 \] Calculando para cada \( k \): - Para \( k = 0 \): \[ z_0 = e^{i\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \] - Para \( k = 1 \): \[ z_1 = e^{i(3\pi/4)} = \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \] - Para \( k = 2 \): \[ z_2 = e^{i(5\pi/4)} = \frac{-1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \] - Para \( k = 3 \): \[ z_3 = e^{i(7\pi/4)} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \] Agora, analisando as alternativas: A) \( z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é uma das soluções. B) \( z = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é outra solução. C) \( z = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é outra solução. D) \( z = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i \) - Esta é outra solução. Portanto, todas as alternativas são soluções da equação \( z^4 + 1 = 0 \). A primeira alternativa correta é: A) \( z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \)