Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). A) \(\frac{1}{5}\) B) \(\frac{2}{5}\) C) \(\frac{3}{5}\) D) \(\frac{4}{5}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração mudam: - Quando \(x = 0\), \(\theta = 0\). - Quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), então: \[ (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} = (\cos^2(\theta))^{3/2} = \cos^3(\theta) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta \] Agora, podemos usar a fórmula para a integral de \(\cos^n(\theta)\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \] Para \(n = 4\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(3\right)} \] Sabemos que \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\) e \(\Gamma\left(3\right) = 2\). E \(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}\). Substituindo: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{\frac{3\sqrt{\pi}}{4} \cdot \sqrt{\pi}}{2} = \frac{3\pi/4}{2} = \frac{3\pi}{8} \] Por fim, a integral original \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\) resulta em \(\frac{3}{8}\). Agora, analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{5}\) B) \(\frac{2}{5}\) C) \(\frac{3}{5}\) D) \(\frac{4}{5}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado encontrado. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na interpretação da integral. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.