Para resolver a integral \(\int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos definir \(u = x^2\), o que implica que \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}\). Quando \(x = 0\), \(u = 0\) e quando \(x = 1\), \(u = 1\). Assim, a integral se transforma: \[ \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx = \int_0^1 x^2 \cdot x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 \frac{u}{2} e^u \cdot \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 u e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \(\int u e^u \, du\). Usamos a integração por partes, onde \(dv = e^u du\) e \(v = e^u\), e \(u = u\) e \(du = du\). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C \] Substituindo os limites de 0 a 1: \[ \left[ u e^u - e^u \right]_0^1 = \left[ 1 \cdot e^1 - e^1 \right] - \left[ 0 \cdot e^0 - e^0 \right] = (e - e) - (0 - 1) = 1 \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 u e^u \, du = 1 \] Assim, voltando à nossa integral original: \[ \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \] Agora, precisamos multiplicar pelo fator que introduzimos na substituição. A integral original se torna: \[ \int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2}(e - 1) \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)