HS binarios HS

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**Explicação:** A antiderivada é \(x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x\). Avaliamos de 0 a 1: \(1 - 
\frac{4}{3} + 1 = \frac{1}{2}\). 
 
31. **Problema 31:** Qual é o valor de \(\int e^{-x^2} \, dx\) de \(-\infty\) a \(\infty\)? 
 - A) \(\sqrt{\pi}\) 
 - B) \(1\) 
 - C) \(0\) 
 - D) \(2\) 
 **Resposta:** A) \(\sqrt{\pi}\) 
 **Explicação:** Esta é uma integral gaussiana bem conhecida, cujo valor é \(\sqrt{\pi}\). 
 
32. **Problema 32:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 - A) 3 
 - B) 1 
 - C) 0 
 - D) Infinito 
 **Resposta:** A) 3 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite de \(\sin(kx)\), 
temos \(\lim_{x \to 0} \frac{3\cos(3x)}{1} = 3\). 
 
33. **Problema 33:** Determine a derivada da função \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). 
 - A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 - B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 - C) \(\frac{1}{x}\) 
 - D) \(2x\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
34. **Problema 34:** Calcule a integral \(\int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{4}(e - 1)\) 
 - B) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 - C) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 - D) \(\frac{1}{5}(e - 1)\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{1}{4}(e - 1)\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^2\), resultando em \(\frac{1}{2} \int_0^1 
e^u \, du = \frac{1}{2}(e - 1)\). 
 
35. **Problema 35:** Qual é a integral \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\)? 
 - A) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 - B) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 - C) \(\ln(x) + C\) 
 - D) \(\frac{\ln(x)}{x} + C\) 
 **Resposta:** A) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), resultando em \(\int \frac{1}{u} \, du 
= \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C\). 
 
36. **Problema 36:** Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) Infinito 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 0\). 
 
37. **Problema 37:** Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). 
 - A) \(\frac{1}{5}\) 
 - B) \(\frac{2}{5}\) 
 - C) \(\frac{3}{5}\) 
 - D) \(\frac{4}{5}\) 
 **Resposta:** B) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = 1 - x^2\) e resolvemos a integral. 
 
38. **Problema 38:** Qual é a derivada da função \(g(x) = e^{x^2 + 1}\)? 
 - A) \(2xe^{x^2 + 1}\) 
 - B) \(e^{x^2}\) 
 - C) \(e^{x^2 + 1}\) 
 - D) \(2e^{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** A) \(2xe^{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(g'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
39. **Problema 39:** Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\). 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) Infinito 
 - D) \(-\infty\) 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital, resultando em \(\lim_{x \to \infty} 
\frac{1/x}{1} = 0\). 
 
40. **Problema 40:** Qual é a integral \(\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx\)? 
 - A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 - B) \(\frac{\pi}{2}\) 
 - C) \(\frac{\pi}{3}\) 
 - D) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). A integral se 
torna \(\frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}\). 
 
41. **Problema 41:** Determine a derivada da função \(h(x) = \tan^{-1}(3x)\). 
 - A) \(\frac{3}{1 + 9x^2}\) 
 - B) \(\frac{1}{3 + 9x^2}\) 
 - C) \(\frac{1}{1 + 3x^2}\) 
 - D) \(\frac{3}{1 + 3x^2}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{3}{1 + 9x^2}\)