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Problema 32: Encontre o valor de \( \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx \).

a) \( \frac{1}{2} \)
b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{1}{4} \)
d) \( \frac{2}{3} \)
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LN matematica com amor
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Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx \), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (1 - x^2) \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] 3. Substituir os limites: - Para \( x = 1 \): \[ 1 - \frac{1^3}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] - Para \( x = 0 \): \[ 0 - \frac{0^3}{3} = 0 \] 4. Resultado da integral: \[ \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} \] Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{2}{3} \).

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d) \( 1 - \ln(x) \)

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