Problema 36: Encontre a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \). a) \( \ln(x) + 1 \) b) \( \ln(x) \) c) \( \frac{1}{x} \) d) \( 1 - \ln(x) \)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x \ln(x) \), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x \) e \( u'(x) = 1 \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (1)(\ln(x)) + (x)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando: \[ f'(x) = \ln(x) + 1 \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \ln(x) + 1 \).