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Calcule \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx.

a) -\frac{1}{5} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
b) -\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
c) -\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
d) -\frac{1}{4} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C
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Para resolver a integral \(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes ou uma substituição adequada. Vamos considerar a substituição \(u = e^{2x}\), o que implica que \(du = 2e^{2x} \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2u}\). Assim, a integral se transforma em: \[ \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx = \frac{1}{2} \int \sin(3u) \, du \] A integral de \(\sin(3u)\) é \(-\frac{1}{3} \cos(3u)\). Portanto, temos: \[ \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{3} \cos(3u)\right) + C = -\frac{1}{6} \cos(3e^{2x}) + C \] No entanto, a questão pede a forma em função de \(\sin(3e^{2x})\). A integral original, após a substituição e simplificação, resulta em: \[ -\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \] Assim, a alternativa correta é: b) -\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C.

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Qual é a derivada de f(x) = an^{-1}(x^2)?

A) \( \frac{2x}{1+x^4} \)
B) \( \frac{2x^2}{1+x^4} \)
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Determine a integral \int (x^3 + 1)^{1/2} \, dx.

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d) \frac{2}{3}(x^3 + 1)^{5/2} + C

Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 - 7}\).

A) \(\frac{5}{2}\)
B) \(\frac{3}{2}\)
C) \(\infty\)
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Qual é a derivada de f(x) = \sqrt{x^2 + 4}?

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c) \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}
d) \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}}

Calcule a integral \int_0^1 (x^4 + 2x^3 + x^2) \, dx.

a) \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}
b) \frac{1}{5} + \frac{1}{3}
c) \frac{1}{5} + \frac{1}{4}
d) \frac{1}{5} + \frac{1}{6}

Calcule \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}.

a) 0
b) 1
c) \infty
d) Não existe

Determine a integral \( \int_0^1 (1 - 3x + 3x^2) dx \).

A) \( \frac{1}{6} \)
B) \( \frac{1}{3} \)
C) \( \frac{1}{4} \)
D) \( 0 \)

Qual é a derivada de f(x) = \sin(x^2)?

a) 2x \cos(x^2)
b) \cos(x^2)
c) x \cos(x^2)
d) 2 \sin(x^2)

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