de algoritmo da matematica

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d) Não existe 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: O limite é indeterminado na forma \(0/0\). Usando fatoração, temos 
\(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\). Avaliando em \(x = 1\), obtemos \(2\). 
 
24. **Problema 24**: Determine a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), temos 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \left[x - 
\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[\frac{\pi}{2} - 0\right] = 
\frac{\pi}{4}\). 
 
25. **Problema 25**: Qual é a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x^2)\)? 
 a) \(\frac{2x}{1+x^4}\) 
 b) \(\frac{2x^2}{1+x^4}\) 
 c) \(\frac{2}{1+x^4}\) 
 d) \(\frac{1}{1+x^4}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{2x}{1+x^4}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{1+x^4}\). 
 
26. **Problema 26**: Calcule \(\int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{5} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 b) \(-\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{3} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 d) \(-\frac{1}{4} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Resposta**: b) \(-\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = e^{2x}\), temos \(du = 2e^{2x} dx\), e a 
integral se torna \(-\frac{1}{6} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\). 
 
27. **Problema 27**: Determine a integral \(\int (x^3 + 1)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{5}(x^3 + 1)^{5/2} + C\) 
 b) \(\frac{2}{5}(x^3 + 1)^{3/2} + C\) 
 c) \(\frac{2}{3}(x^3 + 1)^{3/2} + C\) 
 d) \(\frac{2}{3}(x^3 + 1)^{5/2} + C\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{2}{5}(x^3 + 1)^{3/2} + C\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^3 + 1\), temos \(du = 3x^2 dx\), e a integral 
se torna \(\frac{2}{3}(x^3 + 1)^{3/2} + C\). 
 
28. **Problema 28**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 + 7}\). 
 a) \(\frac{5}{2}\) 
 b) \(\frac{3}{2}\) 
 c) \(\infty\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \(x\) (que é 
\(x^2\)), temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{7}{x^2}} = \frac{5}{2}\). 
 
29. **Problema 29**: Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4}\)? 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 b) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 c) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 d) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 
(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\). 
 
30. **Problema 30**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 + 2x^3 + x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{x^5}{5} + \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^1 
= \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{3}{6} = \frac{1}{5} + \frac{3}{6} = 
\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\). 
 
31. **Problema 31**: Calcule \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta**: a) 1 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos que \(\lim_{x \to 0} 
\frac{\ln(1+x)}{x} = 1\). 
 
32. **Problema 32**: Determine a integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx\). 
 a) \(0\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: a) \(0\) 
 **Explicação**: A integral é \(\left[\frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3x^2}{2} - x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} - 1\right) = 0\). 
 
33. **Problema 33**: Qual é a derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\)? 
 a) \(2x \cos(x^2)\) 
 b) \(\cos(x^2)\) 
 c) \(x \cos(x^2)\) 
 d) \(2 \sin(x^2)\) 
 **Resposta**: a) \(2x \cos(x^2)\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x\).