Calcule o limite: \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}\), podemos usar a identidade trigonométrica e a regra de L'Hôpital. 1. Identidade Trigonométrica: Sabemos que \(\cos(2x) - 1 = -2\sin^2(x)\). Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2(x)}{x^2} \] 2. Dividindo: Agora, podemos dividir \(\sin^2(x)\) por \(x^2\): \[ = -2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} = -2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \] 3. Limite Conhecido: Sabemos que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\). Portanto: \[ = -2 \cdot 1^2 = -2 \] Assim, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} = -2 \]