rk a vida da matematica

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c) \(\frac{1}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** Integrando: 
 \[ 
 \int (1 - x)^{2} \, dx = \left[-\frac{(1 - x)^{3}}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} 
 \] 
 
77. **Qual é a integral de \(f(x) = \cos(x^2)\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}\sin(x^2) + C\) 
 b) Não existe forma elementar 
 c) \(\sin(x^2) + C\) 
 d) \(\tan(x^2) + C\) 
 **Resposta:** b) Não existe forma elementar 
 **Explicação:** A integral \(\int \cos(x^2) \, dx\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares. 
 
78. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} 
 \] 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 6 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 
 \] 
 
79. **Qual é a integral de \(f(x) = \sec(x)\tan(x)\)?** 
 a) \(\sec(x) + C\) 
 b) \(\ln(\sec(x) + \tan(x)) + C\) 
 c) \(\tan(x) + C\) 
 d) \(\sec^2(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\sec(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \sec(x)\tan(x) \, dx = \sec(x) + C 
 \] 
 
80. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx 
 \] 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Integrando: 
 \[ 
 \int (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 3x\right]_0^1 = 1 
 \] 
 
81. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^4 + 4x^2 + 4\)?** 
 a) \(4x^3 + 8x + 4\) 
 b) \(4x^3 + 4x + 4\) 
 c) \(4x^3 + 8x + 2\) 
 d) \(4x^3 + 4x^2 + 4\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 + 8x + 4\) 
 **Explicação:** A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = 4x^3 + 8x 
 \] 
 
82. **Calcule a integral:** 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx 
 \] 
 a) \(\frac{2}{3}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2}{3}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\): 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{2}{3} 
 \] 
 
83. **Qual é a integral de \(f(x) = e^{x^2}\)?** 
 a) Não existe forma elementar 
 b) \(e^{x^2} + C\) 
 c) \(x e^{x^2} + C\) 
 d) \(e^{x} + C\) 
 **Resposta:** a) Não existe forma elementar 
 **Explicação:** A integral \(\int e^{x^2} \, dx\) não pode ser expressa em termos de 
funções elementares. 
 
84. **Calcule o limite:** 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}