Para converter o número complexo \(-1 + \sqrt{3}i\) para a forma polar, precisamos encontrar o módulo e o argumento do número. 1. Cálculo do módulo: \[ r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Cálculo do argumento: O argumento \(\theta\) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) \] Isso nos dá um ângulo que está no segundo quadrante, pois a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva. O ângulo correspondente é: \[ \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] Portanto, a forma polar do número complexo é: \[ 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \] Analisando as alternativas: a) \(2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right)\) - Incorreto, pois \(\frac{5\pi}{3}\) está no quarto quadrante. b) \(2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)\) - Correto, corresponde ao que encontramos. c) \(2\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\) - Incorreto, pois o ângulo negativo não representa corretamente o número. d) \(3\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\) - Incorreto, pois o módulo não é 3. Portanto, a alternativa correta é: b) \(2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)\).