desafios do passei XLIV

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d) \( z = 0 \) 
 Resposta: a) \( z = -1, -2 \) 
 Explicação: Resolvemos \( z^2 + 3z + 2 = 0 \) usando a fórmula de Bhaskara, resultando: 
 \[ 
 z = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{-1}}{2} = -1, -2. 
 \] 
 
26. Qual é o resultado de \( (i + 1)(i - 1) \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( i \) 
 Resposta: b) \( 2 \) 
 Explicação: Usando a distributiva, temos: 
 \[ 
 (i + 1)(i - 1) = i^2 - 1 = -1 - 1 = 2. 
 \] 
 
27. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 8z + 16 = 0 \)? 
 a) \( 8 \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( -16 \) 
 Resposta: a) \( 8 \) 
 Explicação: A soma das raízes é dada por \( -b/a \). Assim, \( -(-8)/1 = 8 \). 
 
28. Se \( z = 1 + i \), qual é a forma polar de \( z \)? 
 a) \( \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 b) \( 1 + e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 c) \( 1 + i \) 
 d) \( \sqrt{2} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 Resposta: a) \( \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 Explicação: Primeiro, calculamos o módulo como \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) e o 
argumento é \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \). Portanto, \( z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \). 
 
29. Se \( z = -7 \), qual é o valor de \( |z + 4i| \)? 
 a) \( \sqrt{73} \) 
 b) \( \sqrt{25} \) 
 c) \( 5 \) 
 d) \( 7 \) 
 Resposta: a) \( \sqrt{73} \) 
 Explicação: Encontramos o módulo de \( z + 4i = -7 + 4i \): 
 \[ 
 |z + 4i| = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}. 
 \] 
 
30. Qual é a equação da reta imaginária no plano dos números complexos? 
 a) \( x = 0 \) 
 b) \( y = 0 \) 
 c) \( y = mx + b \) 
 d) \( z = ai \) 
 Resposta: a) \( x = 0 \) 
 Explicação: A reta imaginária é representada pelos números da forma \( 0 + bi \) onde \( 
b \) pode assumir quaisquer valores. Portanto, todos os pontos estão localizados na linha 
onde \( x \) é igual a zero. 
 
31. Se \( z = x + yi \), e o produto \( z\overline{z} = 25 \), qual é o valor de \( |z| \)? 
 a) \( 25 \) 
 b) \( \sqrt{25} = 5 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 0 \) 
 Resposta: b) \( \sqrt{25} = 5 \) 
 Explicação: O módulo de \( z \) é definido como \( |z| = \sqrt{z \overline{z}} \). Assim, 
temos: 
 \[ 
 |z| = \sqrt{25} = 5. 
 \] 
 
32. Se a equação \( z^2 + 4z + 5 = 0 \) tem raízes complexas, qual é a forma dessas raízes? 
 a) \( \pm i \sqrt{3} \) 
 b) \( -2 \pm i \) 
 c) \( -2 \pm \sqrt{5} i \) 
 d) \( -4 \pm i \) 
 Resposta: c) \( -2 \pm i \) 
 Explicação: Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: 
 \[ 
 z = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i. 
 \] 
 
33. Qual é a forma escrita do número complexo \( -1 + \sqrt{3}i \) na forma polar? 
 a) \( 2(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}) \) 
 b) \( 2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) \) 
 c) \( 2(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) \) 
 d) \( 3(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) \) 
 Resposta: b) \( 2(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}) \) 
 Explicação: O módulo é \( 2 \) e o argumento é \( \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) \), 
obtendo assim o resultado da forma polar. 
 
34. Para o número complexo \( z = 3 + 5i \), qual é o valor de \( \overline{z}^2 \)? 
 a) \( 34 - 30i \) 
 b) \( 34 + 30i \) 
 c) \( 30 - 34i \) 
 d) \( 34 + 15i \) 
 Resposta: a) \( 34 - 30i \)