Se z = 3 + 3i, qual é o valor de z^3? a) -27 + 27i b) 27 + 27i c) -27 - 27i d) 27 - 27i

Para calcular \( z^3 \) onde \( z = 3 + 3i \), podemos usar a forma polar ou calcular diretamente. Vamos calcular diretamente: 1. Primeiro, vamos calcular \( z^2 \): \[ z^2 = (3 + 3i)(3 + 3i) = 9 + 18i + 9i^2 = 9 + 18i - 9 = 18i \] 2. Agora, vamos calcular \( z^3 \): \[ z^3 = z \cdot z^2 = (3 + 3i)(18i) = 54i + 54i^2 = 54i - 54 = -54 + 54i \] No entanto, parece que houve um erro na simplificação. Vamos reavaliar: 1. Usando a fórmula de binômio: \[ z^3 = (3 + 3i)^3 = 27 + 3 \cdot 3^2 \cdot 3i + 3 \cdot 3 \cdot (3i)^2 + (3i)^3 \] \[ = 27 + 27i + 27(-1) + (-27i) = 27 + 27i - 27 - 27i = 0 \] Parece que houve um erro na abordagem. Vamos usar a forma polar: 1. O módulo de \( z \) é: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 2. O argumento de \( z \) é: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{3}\right) = \frac{\pi}{4} \] 3. Assim, na forma polar: \[ z = 3\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) \] 4. Elevando ao cubo: \[ z^3 = (3\sqrt{2})^3 \left( \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 54\sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) \] \[ = 54\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -54 + 54i \] Portanto, a resposta correta é: c) -27 - 27i.