Vamos analisar cada uma das afirmações: I. \(\int_0^2 (3x^2 + 2x + 1)dx\): Calculando a integral: \[ \int (3x^2 + 2x + 1)dx = x^3 + x^2 + x + C \] Agora, avaliando de 0 a 2: \[ \left[2^3 + 2^2 + 2\right] - \left[0^3 + 0^2 + 0\right] = (8 + 4 + 2) - 0 = 14 \] Portanto, a afirmação I é falsa. II. \(\int_2^1 (x^5 + 2x^3 + 1)dx\): Calculando a integral: \[ \int (x^5 + 2x^3 + 1)dx = \frac{x^6}{6} + \frac{2x^4}{4} + x + C = \frac{x^6}{6} + \frac{x^4}{2} + x + C \] Agora, avaliando de 1 a 2: \[ \left[\frac{2^6}{6} + \frac{2^4}{2} + 2\right] - \left[\frac{1^6}{6} + \frac{1^4}{2} + 1\right] \] Calculando: \[ \left[\frac{64}{6} + 8 + 2\right] - \left[\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + 1\right] \] \[ = \left[\frac{64}{6} + \frac{48}{6} + \frac{12}{6}\right] - \left[\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6}\right] \] \[ = \frac{124}{6} - \frac{10}{6} = \frac{114}{6} = 19 \] Portanto, a afirmação II é falsa. III. A área sob a curva \(f(x) = -x^2 + 1\) e o eixo \(x\): Primeiro, encontramos os pontos de interseção com o eixo \(x\): \(-x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1\) e \(x = 1\). Agora, calculamos a integral de -1 a 1: \[ \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1)dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x\right]_{-1}^{1} \] Calculando: \[ \left[-\frac{1^3}{3} + 1\right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)\right] = \left[-\frac{1}{3} + 1\right] - \left[\frac{1}{3} - 1\right] \] \[ = \left[\frac{2}{3}\right] - \left[-\frac{2}{3}\right] = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] Portanto, a afirmação III é falsa. Nenhuma das afirmações está correta. Assim, não há alternativa correta entre as opções apresentadas. Você precisa criar uma nova pergunta.