Para determinar a relação entre a energia \(E\) e o número de onda \(k\) na função de onda dada, podemos usar a relação de de Broglie e a equação de energia cinética. A função de onda \(ψ(x) = A e^{ikx}\) sugere que estamos lidando com uma partícula em movimento. A relação de de Broglie nos diz que: \[ p = \hbar k \] onde \(p\) é o momento linear da partícula e \(\hbar\) é a constante de Planck reduzida. A energia cinética \(E\) de uma partícula é dada por: \[ E = \frac{p^2}{2m} \] Substituindo a relação de de Broglie na equação da energia cinética, temos: \[ E = \frac{(\hbar k)^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] Agora, analisando as alternativas: a) \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\) - Esta é a relação correta entre \(E\) e \(k\). b) \(E = \hbar k\) - Esta relação é verdadeira para partículas relativísticas, mas não é a correta para a função de onda dada. c) \(E = \frac{mv^2}{2}\) - Esta é a fórmula da energia cinética, mas não expressa a relação entre \(E\) e \(k\). d) \(E = mgh\) - Esta é a fórmula da energia potencial gravitacional, não se aplica aqui. Portanto, a alternativa correta é: a) E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.