Para determinar quantos ciclos existem em um grafo completo com \( n \) vértices (onde cada vértice está conectado a todos os outros), precisamos considerar que um ciclo é uma sequência de vértices que começa e termina no mesmo vértice, sem repetir arestas. Em um grafo completo, o número de ciclos distintos que podem ser formados é dado por: 1. Escolher um vértice para começar o ciclo (podemos escolher qualquer um dos \( n \) vértices). 2. Os outros \( n-1 \) vértices podem ser organizados em qualquer ordem, o que dá \((n-1)!\) maneiras de organizar esses vértices. 3. No entanto, cada ciclo é contado \( n \) vezes (uma vez para cada vértice inicial), então precisamos dividir por \( n \). Portanto, o número total de ciclos é \((n-1)! / n\), que simplifica para \((n-1)!\). Analisando as alternativas: a) \((n-1)!\) - Esta é a resposta correta. b) \((n-1)!/2\) - Incorreto, pois não estamos dividindo por 2. c) \((n-1)^{(n-1)}\) - Incorreto, não representa o número de ciclos. d) \((n-1)! \cdot n\) - Incorreto, pois isso contaria os ciclos de forma errada. Portanto, a alternativa correta é: a) (n-1)!.