Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^2 e^{x^2} \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( v(x) = e^{x^2} \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2x \) - Para \( v(x) = e^{x^2} \), usamos a regra da cadeia: \( v'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \) Agora aplicamos a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2x)(e^{x^2}) + (x^2)(e^{x^2} \cdot 2x) \] Simplificando: \[ f'(x) = 2x e^{x^2} + 2x^3 e^{x^2} \] Podemos fatorar \( e^{x^2} \): \[ f'(x) = e^{x^2}(2x + 2x^3) = 2x e^{x^2}(1 + x^2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 2x e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} \) B) \( 2x e^{x^2} + x^2 e^{x^2} \) C) \( 2x^2 e^{x^2} + e^{x^2} \) D) \( 2x^2 e^{x^2} + 2x e^{x^2} \) A alternativa D) \( 2x^2 e^{x^2} + 2x e^{x^2} \) é a que mais se aproxima da nossa derivada, pois podemos reescrever como \( 2x e^{x^2}(1 + x^2) \). Portanto, a alternativa correta é: D) 2x^2 e^{x^2} + 2x e^{x^2}.