Para calcular o volume da região \( S \) delimitada pelo paraboloide \( z = x^2 + y^2 \) e pelo plano \( z = 4 \) utilizando integrais triplas em coordenadas cilíndricas, precisamos primeiro expressar as equações em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - \( z = z \) O paraboloide se torna \( z = r^2 \) e o plano se mantém como \( z = 4 \). Agora, para determinar a região \( S \): 1. O paraboloide \( z = r^2 \) intercepta o plano \( z = 4 \) quando \( r^2 = 4 \), ou seja, \( r = 2 \). 2. Portanto, a região \( S \) está limitada por \( 0 \leq r \leq 2 \) e \( 0 \leq \theta < 2\pi \). 3. Para \( z \), temos \( r^2 \leq z \leq 4 \). Assim, a descrição da região \( S \) em coordenadas cilíndricas é: \[ S = \{(r, \theta, z) \mid 0 \leq r \leq 2, \, 0 \leq \theta < 2\pi, \, r^2 \leq z \leq 4\} \] Com isso, você pode prosseguir para calcular a integral tripla para encontrar o volume. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!