Para analisar a relação \( R \) e determinar suas propriedades, vamos verificar cada uma das alternativas. 1. Reflexividade: Uma relação é reflexiva se, para todo elemento \( x \) em \( A \), a relação contém \( (x,x) \). No conjunto \( A = \{a, b, c\} \), precisamos de \( (a,a) \), \( (b,b) \) e \( (c,c) \). A relação \( R \) contém \( (a,a) \) e \( (b,b) \), mas não contém \( (c,c) \). Portanto, \( R \) não é reflexiva. 2. Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que \( (x,y) \) está em \( R \), então \( (y,x) \) também está em \( R \). Analisando \( R \): - \( (a,b) \) está em \( R \) e \( (b,a) \) também está. - \( (b,c) \) está em \( R \), mas \( (c,b) \) também está. - \( (b,b) \) é simétrico por si só. Portanto, \( R \) é simétrica. 3. Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que \( (x,y) \) e \( (y,z) \) estão em \( R \), então \( (x,z) \) também deve estar em \( R \). Vamos verificar: - Temos \( (b,a) \) e \( (a,b) \), mas não temos \( (b,b) \) que já está em \( R \). - Temos \( (b,b) \) e \( (b,c) \), então precisamos de \( (b,c) \) que já está em \( R \). - Temos \( (c,b) \) e \( (b,a) \), mas não temos \( (c,a) \). Portanto, \( R \) não é transitiva. Agora, analisando as alternativas: A) R é reflexiva. (FALSO) B) R é reflexiva e simétrica. (FALSO) C) R é simétrica e transitiva. (FALSO) D) R é simétrica. (VERDADEIRO) E) R é transitiva. (FALSO) A alternativa correta é: D) R é simétrica.