Para mostrar que \( T \circ T_k = T_k \circ T \), onde \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) é uma transformação linear e \( T_k \) é uma dilatação ou contração, vamos seguir os seguintes passos: 1. Definição de Transformação Linear: Uma transformação \( T \) é linear se para todos \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2 \) e \( c \in \mathbb{R} \), temos: \[ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \] \[ T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) \] 2. Definição de Dilatação ou Contração: A transformação \( T_k \) pode ser expressa como \( T_k(\mathbf{x}) = k \mathbf{x} \), onde \( k \) é um escalar positivo (dilatação) ou \( 0 < k < 1 \) (contração). 3. Composição das Transformações: - Para \( T \circ T_k \): \[ (T \circ T_k)(\mathbf{x}) = T(T_k(\mathbf{x})) = T(k \mathbf{x}) = k T(\mathbf{x}) \] - Para \( T_k \circ T \): \[ (T_k \circ T)(\mathbf{x}) = T_k(T(\mathbf{x})) = k T(\mathbf{x}) \] 4. Conclusão: Como ambos os lados resultam na mesma expressão \( k T(\mathbf{x}) \), temos que: \[ T \circ T_k = T_k \circ T \] Portanto, a afirmação está provada.