Exercício 14. Seja T : V → W uma transformação linear. Mostre que o núcleo e a imagem de T são subespaços vetoriais de V e W, respectivamente.

Para mostrar que o núcleo e a imagem de uma transformação linear \( T: V \to W \) são subespaços vetoriais, vamos analisar cada um separadamente. 1. Núcleo de \( T \): O núcleo de \( T \), denotado por \( \text{ker}(T) \), é definido como: \[ \text{ker}(T) = \{ v \in V \mid T(v) = 0_W \} \] Para mostrar que \( \text{ker}(T) \) é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades: - Contém o vetor nulo: \( T(0_V) = 0_W \), então \( 0_V \in \text{ker}(T) \). - Fechado sob adição: Se \( u, v \in \text{ker}(T) \), então \( T(u) = 0_W \) e \( T(v) = 0_W \). Assim, \( T(u + v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \), logo \( u + v \in \text{ker}(T) \). - Fechado sob multiplicação escalar: Se \( v \in \text{ker}(T) \) e \( c \) é um escalar, então \( T(c \cdot v) = c \cdot T(v) = c \cdot 0_W = 0_W \), logo \( c \cdot v \in \text{ker}(T) \). Portanto, \( \text{ker}(T) \) é um subespaço vetorial de \( V \). 2. Imagem de \( T \): A imagem de \( T \), denotada por \( \text{im}(T) \), é definida como: \[ \text{im}(T) = \{ T(v) \mid v \in V \} \] Para mostrar que \( \text{im}(T) \) é um subespaço vetorial, também precisamos verificar três propriedades: - Contém o vetor nulo: \( T(0_V) = 0_W \), então \( 0_W \in \text{im}(T) \). - Fechado sob adição: Se \( T(u), T(v) \in \text{im}(T) \), então existem \( u', v' \in V \) tais que \( T(u') = T(u) \) e \( T(v') = T(v) \). Assim, \( T(u') + T(v') = T(u' + v') \), logo \( T(u') + T(v') \in \text{im}(T) \). - Fechado sob multiplicação escalar: Se \( T(v) \in \text{im}(T) \) e \( c \) é um escalar, então existe \( v' \in V \) tal que \( T(v') = T(v) \). Assim, \( c \cdot T(v') = T(c \cdot v') \), logo \( c \cdot T(v) \in \text{im}(T) \). Portanto, \( \text{im}(T) \) é um subespaço vetorial de \( W \). Concluindo, tanto o núcleo quanto a imagem de \( T \) são subespaços vetoriais.