Exerćıcio 3. Mostre que uma rotação em R2 é injetiva e encontre a inversa.

Para mostrar que uma rotação em \( \mathbb{R}^2 \) é injetiva, considere uma rotação de um ângulo \( \theta \) em torno da origem. A matriz de rotação é dada por: \[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \] Seja \( \mathbf{v_1} \) e \( \mathbf{v_2} \) dois vetores em \( \mathbb{R}^2 \). A rotação é injetiva se \( R(\theta) \mathbf{v_1} = R(\theta) \mathbf{v_2} \) implica que \( \mathbf{v_1} = \mathbf{v_2} \). Suponha que \( R(\theta) \mathbf{v_1} = R(\theta) \mathbf{v_2} \). Isso implica que: \[ R(\theta) (\mathbf{v_1} - \mathbf{v_2}) = \mathbf{0} \] Como a matriz de rotação \( R(\theta) \) é invertível (determinante diferente de zero), a única solução para \( R(\theta) \mathbf{v} = \mathbf{0} \) é \( \mathbf{v} = \mathbf{0} \). Portanto, \( \mathbf{v_1} - \mathbf{v_2} = \mathbf{0} \), ou seja, \( \mathbf{v_1} = \mathbf{v_2} \). Assim, a rotação é injetiva. Para encontrar a inversa da rotação, note que a rotação de um ângulo \( -\theta \) é a inversa da rotação de \( \theta \). A matriz da rotação inversa é: \[ R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \] Portanto, a inversa de uma rotação em \( \mathbb{R}^2 \) é uma rotação no sentido oposto.