Lista_de_exerccio_para_algebra_linear

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Lista de Transformações lineares e espaços vetoriais
Professor: Mateus Figueira
Exerćıcio 1. Mostre que, se T : R2 → R2 é uma transformação linear qualquer e Tk : R2 → R2 é uma
dilatação ou contração, então
T ◦ Tk = Tk ◦ T.
Solução: Observe que
[T ] =
[
a b
c d
]
e [Tk] =
[
k 0
0 k
]
então
[T ◦ Tk] = [T ] · [Tk] =
[
a b
c d
]
·
[
k 0
0 k
]
=
[
ka kb
kc kd
]
=
[
k 0
0 k
]
·
[
a b
c d
]
= [Tk] · [T ] = [Tk ◦ T ],
ou seja, T ◦ Tk = Tk ◦ T , como queŕıamos mostrar.
Exerćıcio 2. Sejam Tθ1 : R2 → R2 e Tθ2 : R2 → R2 duas rotações de ângulos, respectivamente θ1 e θ2.
Mostre que
Tθ1 ◦ Tθ2 = Tθ1+θ2 .
Solução: Escrevemos
[Tθ1 ] =
[
cos(θ1) −sen(θ1)
sen(θ1) cos(θ1)
]
e [Tθ2 ] =
[
cos(θ2) −sen(θ2)
sen(θ2) cos(θ2)
]
,
logo
[Tθ1 ◦ Tθ2 ] = [Tθ1 ] · [Tθ2 ] =
[
cos(θ1) −sen(θ1)
sen(θ1) cos(θ1)
]
·
[
cos(θ2) −sen(θ2)
sen(θ2) cos(θ2)
]
=
=
[
cos(θ1) cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2) −sen(θ2) cos(θ1)− sen(θ1) cos(θ2)
sen(θ2) cos(θ1) + sen(θ1) cos(θ2) cos(θ1) cos(θ2)− sen(θ1)sen(θ2)
]
=
=
[
cos(θ1 + θ2) −sen(θ1 + θ2)
sen(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
]
= [Tθ1+θ2 ],
isto é, Tθ1 ◦ Tθ2 = Tθ1+θ2 .
Exerćıcio 3. Mostre que uma rotação em R2 é injetiva e encontre a inversa.
Solução: A matriz canônica de uma rotação é Tθ é
[Tθ] =
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
.
Portanto, se o determinantes dessa matriz é diferente de zero, temos que ela é injetiva. Calculando o
determinante, temos
det([Tθ]) = cos2(θ) + sen2(θ) = 1 ̸= 0
e segue que ela é injetiva.
Pelo exerćıcio anterior, temos que Tθ ◦ T−θ = T0o = TI , ou seja, em matrizes temos que
[Tθ ◦ T−θ] = [Tθ] · [T−θ] = I
e segue que a transformação inversa de Tθ é T−θ, cuja matriz canônica é
[T−θ] =
[
cos(−θ) −sen(−θ)
sen(−θ) cos(−θ)
]
.
Exerćıcio 4. Sejam u = (4, 1, 2, 3), v = (0, 3, 8,−2) e w = (3, 1, 2, 2). Calcule cada expressão abaixo.
1
Solução: (a)
√
126, (b)
√
24 +
√
77, (c) 4
√
24, (d)
√
1811), (e) (3/4, 1/4, 1/2, 1/2), (f) 1.
Exerćıcio 5. Determine se os vetores abaixo são ortogonais ou não.
Solução: (a) Sim, (b) não, (c) sim, (d) não, (e) não, (f) sim.
Exerćıcio 6. Em cada parte é dada a matriz canônica [T ] de uma transformação linear T . Use a matriz
para obter T (x).
Solução: (a)T (X) = (−1, 1), (b)T (x) = (3, 13), (c) T (x) = (−2x1+x2+4x3, 3x1+5x2+7x3, 6x1−x3),
(d) T (x) = (−x1 + x2, 2x1 + 4x2, 7x1 + 8x2).
Exerćıcio 7. Pode ser provado que se A é uma matriz 2× 2 com det(A) = 1 e tal que os vetores-coluna
de A são ortogonais e tem comprimento 1, então a multiplicação por A é a rotação por algum ângulo θ.
Verifique que
A =
[
−1/
√
2 −1/
√
2
1/
√
2 −1
√
2
]
satisfaz as condições enunciadas e encontre o ângulo de rotação.
Solução: det(A) = 1/2 + 1/2 = 1 e
= −1/2 + 1/2 = 0,
portanto, satisfaz as condições. Para encontrar o ângulo, basta notar que, para cos(θ) = −1/
√
2 =
−
√
2
2
é
necessário que θ = 135o.
Exerćıcio 8. Encontre os autovalores, os respectivos auto-espaços, diga qual a dimensão desses auto-espaços
das seguintes matrizes.
A =
[
1 0
−0 −1
]
, B =
 −1 1 0
1 −1 0
0 0 4
 , C =
[
0 −1
1 0
]
Solução: Matriz A: Autovalores 1 e −1. Auto espaço é ger{(1, 0), (0, 1)} = R2. Dimensão 2.
Matriz B: Autovalores 4,−2 e 0. Auto-espaço é ger{(0, 0, 1), (−1, 1, 0), (1, 1, 0)} = R3. Dimensão 3.
Matriz C: Autovalores ±i. Auto-espaço ger{(i, 1), (−i, 1)}.
Exerćıcio 9. Considere T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (2x+ 3y, y, 2z).
a) Obtenha todos os autovalores de T .
Solução: 2 e 1.
2
b) Obtenha todos os autovetores de autoespaços associados aos autovalores obtidos no item anterior.
Solução: Autovetores: (1, 0, 0), (0, 0, 1) e (−3, 1, 0). Auto-espaço ger{(1, 0, 0), (0, 0, 1), (−3, 1, 0)} = R3.
c) A transformação linear T é invert́ıvel? Justifique.
Solução: Sim, pois seus autovetores são L.I..
Exerćıcio 10. Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por
T (x1, x2, x3) = (3x1 + x2,−2x1 − 4x2 + 3x3, 5x1 + 4x2 − 2x3).
Determine se T é injetor e, se for, encontre T−1.
Solução: É injetora pois o determinante da matriz canônica é −1 ̸= 0. A sua inversa é
T−1(x1, x2, x3) = (4x1 − 2x2 − 3x3,−11x1 + 6x2 + 9x3,−12x1 + 7x2 + 10x3)
Exerćıcio 11. Considere a transformação linear T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x+ y, x+ 2y, 2x+ 3y).
a) A transformação T é injetora? Justifique.
Solução: Sim, pois os vetores coluna da sua matriz canônica são (1, 1, 2) e (1, 2, 3) que não são múltiplos,
logo eles são L.I. e formam uma base da imagem de T . Pelo Teorema do Núcleo e da imagem a
dimensão do núcleo é zero.
b) A transformação T é sobrejetora? Justifique.
Solução: Não, pois a dimensão da imagem é 2 e a dimensão do contradomı́nio é 3.
c) O vetor (1, 1, 1) está na imagem de T? Justifique.
Solução: Não, pois não o sistema que nos permite encontrar soluções para que esse vetor seja combinação
linear do espaço coluna de [T ] é imposśıvel. ou seja, o sistema
(1, 1, 1) = a1(1, 1, 2) + a2(1, 2, 3)
não tem soluções.
Exerćıcio 12. Seja N ⊂ M2×2 o subconjunto das matrizes de tamanho 2× 2 formado por todas as matrizes
da forma [
x y
2x+ y x− y
]
, x, y ∈ R.
Verifique que o subconjunto N é um subespaço vetorial de M2×2, obtenha uma base para N e determine
a sua dimensão.
Solução: Basta observar que se M1,M2 ∈ N e se k for um escalar então
1)M1 +M2 ∈ N
e
2)k ·M1 ∈ N
para verificar que N é um subespaço vetorial.
Agora, observe que, se x, y ∈ R, então[
x y
2x+ y x− y
]
=
[
1 0
2 1
]
· x+
[
0 1
1 −1
]
· y,
então, uma base para esse subespaço é
B =
{[
1 0
2 1
]
,
[
0 1
1 −1
]}
.
pois esses vetores não são múltiplos, e assim, sua dimensão é 2.
Exerćıcio 13. Seja W ⊂ V um subespaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que o
complemento ortogonal de W , dado por
W⊥ = {u ∈ V | = 0, para qualquer w ∈ W}
é um subespaço vetorial.
3
Solução: Se u, v ∈ W⊥ e k ∈ R. Então = 0 = para qualquer w ∈ W . Assim,
1) = + = 0 + 0 = 0
para qualquer w ∈ W , o que nos diz que (u+ v) ∈ W⊥.
Agora,
2) = k = k · 0 = 0
para qualquer w ∈ W . Assim kv ∈ W⊥ e podemos concluir que W⊥ é subespaço vetorial.
Exerćıcio 14. Seja T : V → W uma transformação linear. Mostre que o núcleo e a imagem de T são
subespaços vetoriais de V e W , respectivamente.
Solução: Dado u, v ∈ Ker(T ), temos que T (u) = T (v) = 0. Assim
1)T (u+ v) = T (u) + T (v) = 0 + 0 = 0
e
2)T (ku) = kT (u) = k · 0 = 0.
e Ker(T ) é subespaço vetorial.
Agora, dados w, y ∈ Im(T ), temos que existem u, x ∈ V tais que T (u) = w e T (x) = y. Assim
1)T (u+ x) = T (u) + T (x) = w + y
e segue que (w + y) ∈ Im(T ), e se k ∈ R, temos que
2)T (ku) = kT (u) = kw,
ou seja, kw ∈ Im(T ), em que podemos concluir que Im(T ) é subespaço vetorial.
Exerćıcio 15. Seja T : V → W uma transformação linear injetora. Mostre que T−1 : Im(T ) → V é uma
transformação linear
Solução: Como T é injetora, então T−1 : Im(T ) → V está vem definida. Sejam w, y ∈ Im(T ). Assim,
existem únicos u, x ∈ V tais que T (u) = w e T (x) = y, isto é, T−1(w) = u e T−1(y) = x. Assim,
1)T−1(w + y) = T−1(T (u) + T (x)) = T−1(T (u+ x)) = u+ x = T−1(w) + T−1(y)
e
2)T−1(kw) = T−1(kT (u)) = T−1(T (ku)) = ku = kT−1(w)
o que prova que T−1 é linear.
Exerćıcio 16. Encontre a composição (T1 ◦ T2)(x, y) em cada caso:
1. T1(x1, x2) = (2x1, 3x2), T2(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2)
Solução:
(T1 ◦ T2)(x, y) = (2x− 2y, 3x+ 3y).
2. T1(x1, x2) = (x1 − 3x2, 0), T2(x1, x2) = (4x1 − 5x2, 3x1 − 6x2)
Solução:
(T1 ◦ T2)(x, y) = (−5x+ 13y, 0).
3. T1(x1, x2) = (2x1,−3x2, x1 + x2), T2(x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 + x3)
Solução:
(T1 ◦ T2)(x, y, z) = (2x− 2y,−3y − 3z, x+ y).
Exerćıcio 17. Em cada parte, T : R3 → R3 é a transformação linear dada pela multiplicação pela matriz
A. Determine se T tem inversa. Se tiver, a encontre.
4
1. A =
 15 2
1 2 1
−1 1 0

Solução: Matriz não tem inversa
2. A =
 1 4 −1
1 2 1
−1 1 0

Solução: tem inversa dada por

−1
4
−1
4
3
2
1
4
1
4
−1
2
−1
4
3
4
−1
2

3. A =
 1 0 1
0 1 1
1 1 0

Solução: tem inversa dada por A−1 =
1
2
·
 1 −1 1
−1 1 1
1 1 −1

Exerćıcio 18. Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 os operadores dados por
T1(x, y) = (x+ y, x− y)
e
T2(x, y) = (2x+ y, x− 2y).
1. Mostre que T1 e T2 são injetoras.
Soluções: Basta ver que o determinante da matriz canônica de T1 é −2 e o determinante da matriz
canônica d T2 é −5.
2. encontre fórmulas para
T−1
1 (x, y), T−1
2 (x, y), (T2 ◦ T1)
−1(x, y).
Soluções:
T−1
1 (x, y) = (
x+ y
2
,
x− y
3
)
T−1
2 (x, y) = (
2x+ y
5
,
x− 2y
5
)
(T2 ◦ T1)
−1(x, y) = (
3x− y
10
,
x+ 3y
10
).
3. Verifique que (T2 ◦ T1)
−1 = T−1
1 ◦ T−1
2
Soluções: Basta multiplicar as matrizes canônicas dessas transformações para verificar.
5