Para resolver a expressão \( x^2 + x^4 + x^6 + \ldots + x^{2010} \), podemos notar que essa é uma soma de uma progressão geométrica. 1. Identificação da soma: A soma é de \( x^2 \) até \( x^{2010} \), com um passo de 2. Isso significa que temos os termos \( x^2, x^4, x^6, \ldots, x^{2010} \). 2. Número de termos: O número de termos pode ser encontrado pela fórmula do número de termos de uma PA. Os termos vão de 2 a 2010, com uma diferença de 2. O número de termos \( n \) é dado por: \[ n = \frac{2010 - 2}{2} + 1 = 1005 \] 3. Fórmula da soma da PG: A soma de uma PG é dada por: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \] onde \( a \) é o primeiro termo, \( r \) é a razão e \( n \) é o número de termos. Aqui, \( a = x^2 \), \( r = x^2 \) e \( n = 1005 \). 4. Substituindo os valores: \[ S = x^2 \frac{1 - (x^2)^{1005}}{1 - x^2} = x^2 \frac{1 - x^{2010}}{1 - x^2} \] 5. Considerando que \( x^{2011} = 1 \): Como \( x^{2011} = 1 \), temos \( x^{2010} = \frac{1}{x} \). Portanto, substituindo na soma: \[ S = x^2 \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - x^2} = x^2 \frac{x - 1}{x(1 - x^2)} = \frac{x(x - 1)}{1 - x^2} \] 6. Simplificando: Como \( x \neq 1 \) e \( x^{2011} = 1 \), \( x \) é uma raiz da unidade, e a soma dos termos \( x^2 + x^4 + \ldots + x^{2010} \) resulta em \( 1005 \). Portanto, a resposta correta é: C) 1005.