Problema 27. Prove que todo inteiro da forma 3k+2 tem um fator primo da mesma forma.

Para provar que todo inteiro da forma \(3k + 2\) tem um fator primo da mesma forma, podemos seguir os seguintes passos: 1. Definição: Seja \(n\) um inteiro da forma \(3k + 2\), onde \(k\) é um inteiro. 2. Divisão por primos: Vamos considerar a fatoração de \(n\). Se \(n\) é primo, então ele mesmo é um fator primo da forma \(3k + 2\). 3. Caso \(n\) não ser primo: Se \(n\) não é primo, então ele pode ser escrito como um produto de fatores primos. Vamos considerar esses fatores primos. 4. Fatores primos e suas formas: Os primos podem ser da forma \(3m\), \(3m + 1\) ou \(3m + 2\). Precisamos mostrar que pelo menos um dos fatores primos de \(n\) deve ser da forma \(3m + 2\). 5. Análise dos fatores: - Se todos os fatores primos de \(n\) fossem da forma \(3m\) ou \(3m + 1\), então o produto desses fatores seria da forma \(3k\) ou \(3k + 1\), pois: - \(3m\) contribui para \(3k\). - \(3m + 1\) contribui para \(3k + 1\). - No entanto, isso contradiz o fato de que \(n\) é da forma \(3k + 2\). 6. Conclusão: Portanto, deve haver pelo menos um fator primo de \(n\) que é da forma \(3m + 2\). Assim, provamos que todo inteiro da forma \(3k + 2\) tem um fator primo da mesma forma.