Determine a derivada direcional da função f(x,y) It you 2x2 5, na direção do vetor (5s V3 2 ' 2 1) 1 no ponto (x,y) = (1,1).

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x,y) = 2x^2 + 5 \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (5, \sqrt{3}, 2, 2, 1) \) no ponto \( (x,y) = (1,1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Para \( f(x,y) = 2x^2 + 5 \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4x \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x,y) = (4x, 0) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (1,1) \): \[ \nabla f(1,1) = (4 \cdot 1, 0) = (4, 0) \] 3. Normalize o vetor de direção \( \mathbf{v} \): Primeiro, calcule a norma de \( \mathbf{v} \): \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 3 + 4 + 4 + 1} = \sqrt{37} \] O vetor unitário na direção de \( \mathbf{v} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{5}{\sqrt{37}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{37}}, \frac{2}{\sqrt{37}}, \frac{2}{\sqrt{37}}, \frac{1}{\sqrt{37}} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Como \( \nabla f(1,1) = (4, 0) \): \[ D_{\mathbf{u}} f = (4, 0) \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{37}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{37}} \right) = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{37}} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{37}} = \frac{20}{\sqrt{37}} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f \) no ponto \( (1,1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} \) é \( \frac{20}{\sqrt{37}} \).