Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = x^2 \ln(x) \) para \( x > 0 \), precisamos calcular a primeira derivada da função e igualá-la a zero. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \] (usando a regra do produto). 2. Igualar a derivada a zero: \[ 2x \ln(x) + x = 0 \] Podemos fatorar \( x \): \[ x(2 \ln(x) + 1) = 0 \] Como \( x > 0 \), descartamos \( x = 0 \) e ficamos com: \[ 2 \ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \] 3. Verificar as alternativas: - A) \( x = 1 \) - B) \( x = e \) - C) \( x = 0 \) (não é válido, pois \( x > 0 \)) - D) \( x = 2 \) Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao valor que encontramos. Portanto, parece que a questão não possui a resposta correta entre as opções dadas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!