Para determinar o número de máximos e mínimos locais da função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \) utilizando a primeira derivada, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a primeira derivada \( f'(x) \): \[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a primeira derivada a zero: \[ 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 0 \] Dividindo toda a equação por 4, temos: \[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 \] 3. Fatorar ou usar o Teorema de Bolzano: Podemos tentar encontrar as raízes dessa equação. Observando, percebemos que \( x = 1 \) é uma raiz. Podemos fatorar a equação: \[ (x - 1)(x^2 - 2x + 1) = 0 \] O que resulta em: \[ (x - 1)^3 = 0 \] Portanto, temos uma raiz de multiplicidade 3 em \( x = 1 \). 4. Analisar a primeira derivada: Como a única raiz é \( x = 1 \) e é de multiplicidade ímpar, a função não muda de sinal ao passar por esse ponto. Isso indica que não há máximos ou mínimos locais. Portanto, a função \( f(x) \) não possui máximos ou mínimos locais. A alternativa correta é: A) 0 máximos e 1 mínimo.