Qual é o valor de \( \phi(30) \), onde \( \phi \) é a função totiente de Euler? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15

Para calcular \( \phi(30) \), onde \( \phi \) é a função totiente de Euler, precisamos primeiro encontrar os fatores primos de 30. Os fatores primos de 30 são: - \( 2 \) - \( 3 \) - \( 5 \) A fórmula para calcular \( \phi(n) \) é: \[ \phi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) \] onde \( p_1, p_2, \ldots, p_k \) são os fatores primos de \( n \). Aplicando isso para \( n = 30 \): \[ \phi(30) = 30 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) \left(1 - \frac{1}{5}\right) \] Calculando passo a passo: 1. \( 30 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 30 \times \frac{1}{2} = 15 \) 2. \( 15 \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 15 \times \frac{2}{3} = 10 \) 3. \( 10 \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 10 \times \frac{4}{5} = 8 \) Portanto, \( \phi(30) = 8 \). A alternativa correta é: A) 8.