Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + x - 5) = 6x^2 - 6x + 1 \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 6x^2 - 6x + 1 = 0 \] 3. Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}}{2} \] Isso nos dá duas soluções: \[ x_1 = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{2} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{2} \] 4. Verificar se os pontos críticos estão no intervalo [0, 2]: - \( x_1 \) e \( x_2 \) precisam ser calculados numericamente para verificar se estão dentro do intervalo. Após calcular, encontramos que \( x_1 \) e \( x_2 \) são aproximadamente 1.366 e 0.634, respectivamente, ambos estão no intervalo [0, 2]. 5. Analisando as alternativas: a) \( x = 0 \) - Não é um ponto crítico. b) \( x = 1 \) - Não é um ponto crítico. c) \( x = 2 \) - Não é um ponto crítico. d) \( x = 1.5 \) - Não é um ponto crítico. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente aos pontos críticos encontrados. No entanto, o ponto crítico mais próximo e que está no intervalo é \( x = 1 \) (mesmo não sendo um ponto crítico exato). Portanto, a alternativa correta, considerando a proximidade, é: b) x = 1.