Considere a função f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1. Qual é o valor de x em que a função atinge um ponto de máximo local? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para encontrar o ponto de máximo local da função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \] Dividindo toda a equação por 6: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] 3. Fatorar a equação: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). 4. Determinar se são máximos ou mínimos: Para isso, podemos usar a segunda derivada: \[ f''(x) = 12x - 18 \] - Para \( x = 1 \): \[ f''(1) = 12(1) - 18 = -6 \quad (\text{máximo local}) \] - Para \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2) - 18 = 6 \quad (\text{mínimo local}) \] Assim, a função atinge um ponto de máximo local em \( x = 1 \). Portanto, a alternativa correta é: a) 1.