Considere a função f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2x - 5. Qual é o valor de x que minimiza a função f(x)? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2x - 5 \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 9x^2 - 12x + 2 \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 9x^2 - 12x + 2 = 0 \] 3. Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 9 \), \( b = -12 \), e \( c = 2 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 144 - 72 = 72 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{18} = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3} \] 4. Analisando os valores: Os valores críticos são \( x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3} \) e \( x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3} \). Para determinar qual deles minimiza a função, podemos avaliar a segunda derivada ou simplesmente verificar os valores. 5. Verificando as alternativas: - a) 0 - b) 1 - c) 2 - d) 3 A partir da análise, o valor que minimiza a função não está entre as opções dadas. No entanto, se você precisar de um valor aproximado, \( \frac{2 - \sqrt{2}}{3} \) é aproximadamente 0.47, que está mais próximo de 0. Portanto, a resposta correta, considerando as opções, é a) 0.