Considere a função f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x. Qual é o valor de x que minimiza a função? a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3

Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 6x^2 - 12x + 4 \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 6x^2 - 12x + 4 = 0 \] 3. Simplificar a equação: Dividindo todos os termos por 2: \[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \] 4. Usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 3 \), \( b = -6 \), e \( c = 2 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] 5. Analisando os valores: Os valores críticos são \( x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) e \( x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \). Para determinar qual deles é um mínimo, podemos usar a segunda derivada ou avaliar a função em pontos próximos. 6. Verificando as alternativas: - \( x = 0 \) - \( x = 1 \) - \( x = 2 \) - \( x = 3 \) Após a análise, o valor que minimiza a função \( f(x) \) é \( x = 1 \). Portanto, a alternativa correta é: b) x = 1.