. Sejam √ A = (1, 1, 1) e r : X = (1, 1, 4) + λ(1, −1, 0). obtenha os pontos de r que distam 11 de A. Em seguida, verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a √ 11 e justifique sua resposta.
Vamos escrever os pontos pertencentes à reta como notação de ponto:
\(X = (1+\lambda,1-\lambda,4)\)
Temos agora que fixar a distância como pedido no enunciado:
\(d_{A,X} = \sqrt{(x_A-x_X)^2+(y_A-y_X)^2+(z_A-z_X)^2}=11\)
Substituindo os valores dos pontos, temos:
\((1-1-\lambda)^2+(1-1+\lambda)^2+(1-4)^2=121\\ \lambda^2+\lambda^2+3^2=121\\ 2\lambda^2=112\\ \lambda^2=56\\ \lambda=\pm\sqrt{56}=\pm2\sqrt{14}\)
Logo os pontos que distam 11 de A são:
\(\boxed{X_{\pm}=(1\pm2\sqrt{14},1\mp2\sqrt{14},4)}\)
Para determinarmos a distância do ponto à reta, basta-nos determinar a distância do ponto ao ponto médio dos dois pontos encontrados:
\(d_{A,r} = d_{A,{X_++X_-\over2}}\)
Para o ponto médio, temos:
\({X_++X_-\over2}=(1,1,4)\)
Para a distância, temos:
\(d_{A,r} = \sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{3^2}=\sqrt9\Rightarrow\boxed{d_{A,r}<\sqrt{11}}\)
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