AJUDA NA GEOMETRIA ANALÍTICA AÍ ( . Sejam √ A = (1, 1, 1) e r : X = (1, 1, 4) + λ(1, −1, 0). obtenha os pontos de r que distam 11 de A.)

Vamos escrever os pontos pertencentes à reta como notação de ponto:

\(X = (1+\lambda,1-\lambda,4)\)

Temos agora que fixar a distância como pedido no enunciado:

\(d_{A,X} = \sqrt{(x_A-x_X)^2+(y_A-y_X)^2+(z_A-z_X)^2}=11\)

Substituindo os valores dos pontos, temos:

\((1-1-\lambda)^2+(1-1+\lambda)^2+(1-4)^2=121\\ \lambda^2+\lambda^2+3^2=121\\ 2\lambda^2=112\\ \lambda^2=56\\ \lambda=\pm\sqrt{56}=\pm2\sqrt{14}\)

Logo os pontos que distam 11 de A são:

\(\boxed{X_{\pm}=(1\pm2\sqrt{14},1\mp2\sqrt{14},4)}\)

Para determinarmos a distância do ponto à reta, basta-nos determinar a distância do ponto ao ponto médio dos dois pontos encontrados:

\(d_{A,r} = d_{A,{X_++X_-\over2}}\)

Para o ponto médio, temos:

\({X_++X_-\over2}=(1,1,4)\)

Para a distância, temos:

\(d_{A,r} = \sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{3^2}=\sqrt9\Rightarrow\boxed{d_{A,r}<\sqrt{11}}\)

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