Vamos analisar cada afirmativa: I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x). - Primeiro, vamos encontrar a terceira derivada de i(x): - i'(x) = 2e^(2x) + 6x + cos(x) - i''(x) = 4e^(2x) + 6 - sen(x) - i'''(x) = 8e^(2x) - cos(x) Agora, a integral de i'''(x): - ∫(8e^(2x) - cos(x)) dx = 4e^(2x) - sen(x) + C (onde C é a constante de integração). Portanto, a afirmativa I está incorreta. II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. - Integrar uma função e depois derivá-la o mesmo número de vezes deve retornar à função original (ou uma constante). No entanto, como estamos integrando 8 vezes e derivando 9, isso resultará em uma função que pode não ser a original, mas sim uma constante. Portanto, essa afirmativa é verdadeira, pois a nova função intercepta a origem. III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). - A derivada de h(x) = cos(2x) é h'(x) = -2sen(2x) (usando a regra da cadeia). A afirmativa está incorreta. IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. - A integral de f(x) = x² + 2x + 1 é ∫(x² + 2x + 1) dx = (1/3)x³ + x² + x + C. Portanto, a afirmativa está incorreta. Resumindo: - I: Incorreta - II: Correta - III: Incorreta - IV: Incorreta A única afirmativa correta é a II. Portanto, não há uma alternativa que contenha todas as afirmativas verdadeiras. Você deve escolher a alternativa que melhor se encaixa, que é: II e III.