exer 2

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Pergunta 1
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. Existem inúmeras relações 
presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental trigonométrica, que relaciona os quadrados do seno e 
cosseno com o raio unitário do círculo trigonométrico, entre outras.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e acerca 
dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) cos2x + sen 2x = 1 é uma relação trigonométrica.
II. ( ) cos x + sen x = 1 é uma relação trigonométrica.
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x).
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Incorreta: 
F, F, V, V.
V, V, V, F.
V, F, V, V.
V, F, F, F.
Resposta corretaV, F, V, F.
Pergunta 2
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de outra, 
e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do curso que existe 
uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos f(g(x)), considerando o 
argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = f’(g(x))*g’(x).
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Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas de 
funções circulares, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5).
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = −sen(2x)*cos(cos(2x)).
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x).
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5).
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV
Incorreta: 
I e III.
Resposta corretaI e IV.
II e III.
II, III e IV.
Pergunta 3
A Regra de L’Hospital contribui para a solução de algumas categorias de indeterminações. Com essa regra 
tenta-se resolver o que não é solucionável apenas com a aplicação de um limite. Ela pode ser aplicada, também, 
inúmeras vezes, caso as indeterminações se mantenham, até o momento em que cessam.
Considerando essas informações e com base em seus conhecimentos sobre a regra de L’Hospital, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( ) Indeterminações do tipo 1/0 podem ser resolvidas por essa regra.
II. ( ) Em determinações do tipo 0/0, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
III. ( ) Em determinações do tipo infinito/infinito, pode-se utilizar a regra de L’Hospital.
IV. ( ) A sua aplicação envolve um processo de integralização.
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Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta
Correta: 
F, V, V, F.
F, F, F, V.
F, F, V, V.
V, V, F, V.
V, V, V, F.
Pergunta 4
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das 
expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é 
prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que este 
limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em 
indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométrico e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
Está correto apenas o que se afirma em:
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II, III e IV.
I e IV.
Incorreta: 
II e III.
I, II e IV.
Resposta corretaI, II e III.
Pergunta 5
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de 
variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no Cálculo, já que 
existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de sistemas 
harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo.
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas trigonométricas, 
associe as funções a seguir com suas respectivas características:
1) f(x) = sen(x).
2) f(x) = cos(x).
3) f(x) = tg(x).
4) f(x) = sec(x).
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1).
( ) Sua derivada é ∫ '
(x ) = sec x * tg x 
( ) Sua derivada terceira é sen(x).
( ) Sua derivada é sec²(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta1, 4, 2, 3.
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4, 1, 2, 3.
2, 1, 3, 4.
1, 3, 2, 4.
Incorreta: 
4, 2, 1, 3.
Pergunta 6
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo uma 
função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema 
Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente 
angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob a 
curva do gráfico da função em um intervalo definido.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x).
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, 
obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem.
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x).
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
II e III.
Resposta corretaI, II e III.
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I e III.
Incorreta: 
II e IV.
Pergunta 7
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução de inúmeros limites. Ela 
permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, apenas derivando o numerador e o denominador de 
uma função que é escrita em forma de razão.
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5.
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2.
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1.
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, V, F, F.
F, F, V, V.Resposta corretaV, F, V, V.
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Incorreta: 
V, F, V, F.
V, F, F, V.
Pergunta 8
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto menor o 
denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino 
Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções 
para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam 
indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de 
L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite desconhecido.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser 
aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
Está correto apenas o que se afirma em:
II, e IV.
Resposta corretaII, III e IV.
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Incorreta: 
III e IV.
I, II, III e IV.
I, II, III.
Pergunta 9
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. 
A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área 
abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo 
gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, V, F.
F, F, V, V.
V, V, F, F.
Resposta corretaV, F, V, V.
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Incorreta: 
V, F, V, F.
Pergunta 10
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor possui 
um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de 
variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo 
similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que aplicar a 
operação inversa à derivada é relevante porque:
Resposta corretapermite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou.
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada.
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha.
Incorreta: 
vale para qualquer tipo de função e intervalo.
passa a ser possível derivar outros tipos de funções.
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